Outubro/2016
Autor:
Willian Hofner
Parceria nas análises: Patrícia
de Fátima e Almeida
Resumo
Os fatos atuais
ocorridos no cenário político do Brasil demonstram um crescimento assutador da
corrupção. O Poder Público tem atuado de forma preventiva e coercitiva a fim de
investigar e descobrir os esquemas ilegais. A Policia Federal, o TCU, TCE, MP e
vários outros órgãos estão aplicando inteligência às estratégias de
investigação e reunindo provas de forma meticulosa, inclusive contra servidores
da própria instituição. Este artigo
propõe uma metodologia para análise das contas do Poder Público, e tem por
fundamento a regularidade estatistica dos dígitos de 1 a 9, conhecida por Lei
Newcomb-Benford. Essa Lei estuda as frequências dos primeiros dígitos que
aparecem em listas numéricas.
Palavras-chave: Artigo. Lei.
Newcomb. Benford. Corrupção. Poder Público. Fraude.
Introdução
Os números estão sempre presentes
nas nossas vidas. Mas estariam eles distribuídos na mesma proporção?
Em
1881, o astrônomo e matemático, Simon Newcomb observou que as primeiras tábuas
de logaritmos estavam mais desgastadas e que o desgaste ia diminuindo na medida
em que os números aumentavam. Esta observação colocou em dúvida o entendimento
de que a distribuição de dígitos numéricos era uniforme, isto é, que os dígitos
de 1 a 9 teriam a mesma probabilidade de ocorrência.
Newcomb
calculou a probabilidade de ocorrência dos números de 1 a 9 no primeiro dígito
dos números analisados com a equação abaixo:
P (primeiro dígito significativo = d) =
Log10
(1 + 1/d)
Em
que:
d
= primeiro digito significativo pertencente ao conjunto dos números inteiros
entre 1 e 9.
P(d)
= probabilidade de ocorrência do dígito d em um número qualquer.
Portanto,
para n = 1, tem-se:
P
(primeiro dígito significativo = 1) = Log10
(1
+ 1/1) = 0,301...
Para
n = 2, tem-se:
P
(primeiro dígito significativo = 2) = Log10
(1
+ 1/2) = 0,176...
Para
n = 9, tem-se:
P
(primeiro dígito significativo = 9) = Log10
(1
+ 1/9) = 0,046...
O resultado destas operações resultou na seguinte distribuição:
Probabilidade de ocorrência do Primeiro Dígito
Significativo
Dígito (d)
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
Total
|
P(d)
|
30,1%
|
17,6%
|
12,5%
|
9,7%
|
7,9%
|
6,7%
|
5,8%
|
5,1%
|
4,6%
|
100%
|
Mas
Newcomb não forneceu evidências comprovando esta descoberta.
Mais
de meio século depois, em 1938, Frank Benford utilizou diversas fontes e
analisou os primeiros dígitos dos números coletados e mostrou que a
distribuição dos números de 1 a 9 nestes dígitos é proporcional ao intervalo de
uma escala logarítmica.
O
gráfico abaixo, com a distribuição da Lei de Benford, deixa clara a diminuição
exponencial da probabilidade de ocorrência dos números de 1 a 9:
Portanto,
segundo a Lei de Benford, se selecionarmos uma quantidade razoável de números
(quanto maior a lista, mais o resultado se aproxima da distribuição definida
pela lei) e analisarmos o primeiro dígito, verificaremos que o número 1 aparecerá
mais que o 2, o 2 mais que o 3 e assim sucessivamente até o número 9. Além
disso, a medição pode ser em qualquer escala que não altera os pressupostos da
lei.
Caso
o resultado fique muito distante da distribuição definida pela lei, podemos
deduzir que existem indícios de que os números podem ter sido manipulados e que
precisam ser auditados.
Para
mensurar se a diferença resultante da comparação representa ou não uma
desconformidade com a Lei, utiliza-se testes estatísticos tais como: Teste-Z,
Qui-Quadrado e Média dos Desvios Absolutos.
Os
conjuntos de dados para serem analisados pela lei de Benford devem ter as
seguintes características:
- Devem ser compostos por pelo menos
de 1000 registros;
- Os números devem ter no mínimo 4
dígitos;
- Os números devem ser gerados de
forma natural;
-
Os números não podem ser restritos (Exemplos: números de telefone e altura das
pessoas);
A
Lei de Benford pode ser usada, por exemplo, para testar software, analisar o
resultado das eleições, auditar as declarações de imposto de renda e orçamentos
de obras públicas.
Ela
pode ser identificada também pelo nome de “Lei contra a fraude” e “Lei dos
Primeiros Dígitos” e atualmente ela é muito utilizada como uma ferramenta de
data mining.
Abaixo
alguns exemplos de utilização da lei:
- Rastreamento de fraudes
tributárias nos EUA é legalmente admissível pela aplicação da Lei de Benford;
-
Análise dos dados macroeconômicos reportados pelos países membros da União
Européia ao seu Gabinete de Estatística que resultou no ranking de desvios de
27 países e teve a Grécia vitoriosa neste quesito (manipulação confirmada
oficialmente pela Comissão Européia).
Segue
abaixo mais algumas conclusões da Lei:
-
Dados fraudulentos e aleatórios possuem poucos valores 1 e muitos 6;
-
Valores de despesas nas declarações de IR que aparecem com dígitos 3 acima dos
12% é indício de manipulação;
Para aplicarmos a Lei Newcomb-Benford, foi
utilizada a planilha retirada do portal da transparência da Prefeitura
Municipal de Corinto – MG, no endereço eletrônico:
A
consulta teve como base as Despesas da Prefeitura Municipal de Corinto de
janeiro a setembro de 2016.
Para a carga da
planilha no Rstudio (software utilizado na analise da Lei Newcomb-Benford que
possui uma biblioteca intitulada
"benford.analysis") foi
necessária algumas adaptações no arquivo, sem alterações dos dados:
- Transformação dos dados da coluna analisada
para numérico com 2 casas decimais;
- Exclusão dos cabeçalhos entre as linhas;
- Arquivo .XLS salvo como arquivo .CSV.
Instalando,
executando e analisando o pacote:
## Version 0.99.903 – © 2009-2016
RStudio, Inc.
##
Instala o pacote no RStudio
> install.packages('benford.analysis')
##
Carrega a biblioteca
> library(benford.analysis)
##
Seleciona e carrega o arquivo “Despesas Corinto primeiro semestre 2016.csv”
> Despesas_Corinto_2016 <- read.csv(file.choose(),
sep = ';', header = TRUE,
as.is = TRUE, skipNul = TRUE, dec = ",", na.strings = "NA")
as.is = TRUE, skipNul = TRUE, dec = ",", na.strings = "NA")
## Aplica a lei nas variáveis selecionadas para análise
> Benf_Corinto_2016 <-
benford(Despesas_Corinto_2016$Valor.Pago, number.of.digits = 1,discrete = FALSE)
## Lista os principais resultados da análise
> Benf_Corinto_2016
Benford object:
Data: Despesas_Corinto_2016$Valor.Pago => nome da base de dados
Number of observations used = 7365 => número
de observações
Number of obs. for second order = 3957 => número
de observações para segunda ordem
First digits analysed = 1 => primeiro dígito analisado
=>Na sequência as principais estatísticas da mantissa do log dos dados pesquisados. Se a lista de dados analisada segue a Lei de Benford, os valores devem ser próximos dos seguintes:
- média: 0.5;
=>Na sequência as principais estatísticas da mantissa do log dos dados pesquisados. Se a lista de dados analisada segue a Lei de Benford, os valores devem ser próximos dos seguintes:
- média: 0.5;
- var: 1/12 (0.083333...);
- curtose: 1.2;
Mantissa:
Statistic Value
Mean 0.509
Var 0.082
Ex.Kurtosis
-1.158
Skewness
-0.074
=> Segue os 5 maiores desvios que são os valores que podem merecer
uma análise minuciosa, pois o mais importante não é saber se os dados seguem ou
não a lei, mas sim verificar o tamanho do desvio e a sua importância prática.
O conjunto de dados suspeitos pode ser analisado com a função
getSuspects.
The 5 largest deviations:
digits
absolute.diff
1 3 538.83
2 2 219.91
3 4 173.74
4 7
168.89
5 1
138.09
=> Finalizando, segue um conjunto estatístico de grau de ajuste. Uma das verificações interessante é o p-valor do qui-quadrado que quanto mais perto de zero mais indicará um desvio em relação ao esperado.
=> Finalizando, segue um conjunto estatístico de grau de ajuste. Uma das verificações interessante é o p-valor do qui-quadrado que quanto mais perto de zero mais indicará um desvio em relação ao esperado.
Stats:
Pearson's Chi-squared test
data:
Despesas_Corinto_2016$Valor.Pago
X-squared = 518.27, df = 8, p-value < 2.2e-16
Mantissa Arc Test
data:
Despesas_Corinto_2016$Valor.Pago
L2 = 0.0016959, df = 2, p-value = 3.762e-06
Mean Absolute Deviation: 0.02274956
Distortion Factor: 1.222325
Remember: Real data will never conform perfectly to
Benford's Law. You should not focus on p-values!
## Gera os gráficos
> plot(Benf_Corinto_2016)
Digits Distribution
Comparação entre os
dados pesquisados (barras em azul) e os valores esperados pela Lei de Benford
(Linha vermelha tracejada).
Digits
Distribution Second Order Test
Análogo
ao Digits Distribution, porém faz a contagem para a diferença dos dados
ordenados.
Summation Distribution by Digits
Este
gráfico mostra a soma dos valores das observações agrupados por primeiros
dígitos com o objetivo de identificar grupos de valores influentes.
A
função getSuspects gera uma tabela com os dados dos dígitos com maior
discrepância. Veja abaixo o exemplo:
> suspects <- getSuspects(Benf_Corinto_2016, Despesas_Corinto_2016)
Considerações Finais
A análise Benford facilita o trabalho de
auditoria na medida que permite a verificação de toda a população de dados,
retornando apenas a relação de dados suspeitos, permitindo assim um estudo mais
direcionado a esses dados.
Os desvios aqui identificados em relação à Lei
de Newcomb-Benford não constituem prova conclusiva de manipulação, entretanto
uma não conformidade com a lei indica que os dados precisam de uma investigação
mais minuciosa.
Outras
funcionalidades podem ser consultadas no pacote de acordo com a análise
necessária.
Bibliografia
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